四元数资料 Supporting tagline
写在前面：
之前一直不明白四元数概念，原因是主动能动性作怪，一直用欧拉角的方式思考四元数。
再因数学基础不好，忘记复数虚部等概念。（现在也不明白为何要用到复数）。
但简单来说，四元数(w, x,y,z) 中，x,y,z 代表旋转轴，w代表旋转角度。
可以从dx中的 D3DXMatrixLookAtLH 函数上理解：
D3DXMATRIX D3DXMatrixLookAtLH(
D3DXMATRIX *pOut,
CONST D3DXVECTOR3 *pEye,
CONST D3DXVECTOR3 *pAt,
CONST D3DXVECTOR3 *pUp
);上面API为函数原型，其中 pEye 为眼睛位置， pAt为观察目标位置，你可以理解成旋转轴；
至于pUp，网络上资料很多都只介绍它的通常为(0,1,0)，却没说到为何是 (0,1,0)。
其实，pUp中的 x和y是向上方向的比例【这里比较难解释】，也就是跟旋转角度有关，如果旋转45度的话，pUp就是(1,1,0)同理旋转90度的话，pUp就是(1,0,0),其中z变量可以是任何值，但在变换中不起作用。
欧拉角转换成四元数的公式，其实就是将其分成三步。
- 先绕x轴旋转xx度，
- 再绕y轴旋转yy度，
- 最后绕z轴旋转zz度。
四元数中将三个步骤进行叉成可以获得最终结果。至于四元数转换成欧拉角。。。表示还没明白。
四元数入门
旋转
我将说明使用了四元数（quaternion）的旋转的操作步骤
* 四元数的虚部，实部和写法
所谓四元数，就是把4个实数组合起来的东西。
4个元素中，一个是实部，其余3个是虚部。
比如叫做Q的四元数，实部t而虚部是x,y,z构成，则像下面这样写：
Q = (t; x, y, z)
又，使用向量 V=(x,y,z)，Q = (t; V) 也可以这么写。
正规地用虚数单位i,j,k的写法的话： ` Q = t + xi + yj + zk`* 四元数之间的乘法
虚数单位之间的乘法 : ii = -1, ij = -ji = k (其他的组合也是循环地以下同文)
用这个规则一点点地计算很麻烦，所以请用像下面这样的公式计算:
A = (a; U)
B = (b; V)
AB = (ab - U·V; aV + bU + U×V)
不过，`U·V` 是内积，`U×V`是外积的意思。
注意：一般 `AB!=BA` 所以乘法的左右要注意！-
3次元的坐标的四元数表示
如要将某坐标(x,y,z)用四元数表示,
则要这么写：P = (0; x, y, z)另外，即使实部是零以外的值，下文的结果也一样。用零的话省事所以我推荐。
* 旋转的四元数表示
以原点为旋转中心，旋转的轴是(α, β, γ)，（但 α^2 + β^2 + γ^2 = 1），
右手系的坐标定义的话，望向向量(α, β, γ)的前进方向反时针地转θ角的旋转，
用四元数表示就是：
Q = (cos(θ/2); α sin(θ/2), β sin(θ/2), γ sin(θ/2))
R = (cos(θ/2); -α sin(θ/2), -β sin(θ/2), -γ sin(θ/2))
另外 R 叫 Q 的共轭四元数。 四元数的另一个描述
quaternion 是一个标量和一个 3D 向量的组合。
q={ w,x,y,z},Ogre中一个默认的quaternion ={1,0,0,0} ,一般用于空间一点的旋转。
假设空间一点叫 p(x0,y0,z0), 将要旋转角度是 α , 旋转轴是(x,y,z), 那么:
p的四元数表示：p = {0,x0,y0,z0}
旋转矩阵 ： q = {cos(α/2), sina(α/2)Nx, sin(α/2)Ny, sin(α/2)Nz} (N为单位向量)
p点旋转后的结果： q*p*q-1在数学上，quaternion 表示复数 w+xi+yj+zk，其中i,j,k都是虚数单位。
而复数乘法(叉乘)的几何意义实际上就是对复数进行旋转。
这也是OGRE为什么要用quaternion的原因(比Matrix更快捷更节省空间)
对最简单的二维复数 p=x+yi 来说，和另一个 q=(conα, sinα) 相乘，则表示把 p 沿逆时针方向旋转α：p’ = pq ,这是2D旋转.
如果要表示 3D 旋转，就需要 3D 复数了，于是就有了”四元数”，q=w+ix+jy+kz (i,j,k都是虚数)
其中j,j,k关系如下:
i2 = j2 = k2 = -1
i*j = k = -j*i
j*k = i = -k*j
k*i = j = -i*k四元数加法:
q1 + q2 = (w1+w2) + (x1+x2)i + (y1+y2)j + (z1+z2)k四元数乘法:
q1 * q2 =
(w1*w2 – x1*x2 – y1*y2 – z1*z2) +
(w1*x2 + x1*w2 + y1*z2 – z1*y2) i +
(w1*y2 – x1*z2 + y1*w2 + z1*x1) j +
(w1*z2 + x1*y2 – y1*x2 + z1*w2) k